FANDOM


ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ Edit

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (17 สิงหาคม 2144 - 12 มกราคม 2207) เป็นทนายความชาวฝรั่งเศส และเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้พัฒนาสาขาแคลคูลัส แฟร์มาต์ยังมีผลงานในด้านทฤษฎีจำนวน เรขาคณิตวิเคราะห์ และความน่าจะเป็น

แฟร์มาต์เป็นผู้คิดค้นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งเขาอ้างว่ามีบทพิสูจน์ของทฤษฎีดังกล่าว แต่ไม่มีใครพบหลักฐานใดๆเกี่ยวกับบทพิสูจน์ หลังจากที่เขาเสียชีวิต นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้น แต่ก็ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้มานานกว่า 300 ปี จนกระทั่ง แอนดรูว์ ไวลส์ สามารถพิสูจน์ได้ในปี พ.ศ. 2538

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

(Fermat's last theorem) เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โด่งดังในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์

ซึ่งกล่าวว่า: ไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, และ z ที่ทำให้ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ได้เขียนทฤษฎีบทนี้ลงในหน้ากระดาษหนังสือ Arithmetica ของไดโอแฟนตัส ฉบับแปลเป็นภาษาละตินโดย Claude-Gaspar Bachet เขาเขียนว่า "ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้" (เขียนเป็นภาษาละตินว่า "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.") อย่างไรก็ตาม ตลอดระยะเวลา 357 ปี ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ถูกต้องเลย ข้อความนี้มีความสำคัญมาก เพราะว่าข้อความอื่นๆ ที่แฟร์มาต์เขียนนั้น ได้รับการพิสูจน์หมดแล้ว ไม่ว่าจะพิสูจน์ด้วยตัวเขาเอง หรือว่ามีคนให้บทพิสูจน์ในภายหลัง ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้เป็นข้อความคาดการณ์สุดท้ายที่แฟร์มาต์เขียน แต่เป็น ข้อสุดท้ายที่จะต้องพิสูจน์ นักคณิตศาสตร์ได้พยายามพิสูจน์หรือไม่ก็หักล้างทฤษฎีบทนี้มาโดยตลอด และต้องพบกับความล้มเหลวทุกครั้งไป ทำให้ทฤษฎีนี้เป็นทฤษฎีที่สร้างบทพิสูจน์ที่ผิดๆ มากที่สุดในวงการคณิตศาสตร์ก็ว่าได้ อาจเป็นเพราะทฤษฎีบทนี้ดูแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนนั่นเอง

บริบททางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นรูปแบบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ a2 + b2 = c2 (สมการที่ตัวแปรเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น) ชาวจีน ชาวกรีก และชาวบาบิโลเนียนได้ค้นพบคำตอบของสมการนี้หลายคำตอบเช่น (3, 4, 5) (32 + 42 = 52) หรือ (5, 12, 13) เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (Pythagorean triples) และมีอยู่จำนวนไม่จำกัด ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ กล่าวว่า สมการนี้จะไม่มีคำตอบเมื่อเลขยกกำลังมากกว่า 2 ทฤษฎีนี้ไม่ค่อยถูกนำไปใช้ประโยชน์มากนัก (ไม่ได้ถูกนำไปใช้พิสูจน์ทฤษฎีอื่น) แต่มันก็เชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ หลายสาขา และมันก็ไม่เป็นความพยายามที่ไร้สาระเสียทีเดียว การพยายามพิสูจน์ทฤษฎีนี้ก่อให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ ที่สำคัญอีกมากมา

ประวัติในยุคแรกๆ เราอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีที่ n = 4 และกรณีที่ n เป็นจำนวนเฉพาะ ก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุกค่า n.

แฟร์มาต์ได้พิสูจน์กรณี n = 4, ออยเลอร์ พิสูจน์กรณี n = 3, Dirichlet และ Legendre พิสูจน์กรณี n = 5 เมื่อ ค.ศ. 1828, Gabriel Lamé พิสูจน์กรณี n = 7 เมื่อ ค.ศ. 1839 ใน ค.ศ. 1983 Gerd Faltings ได้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของ Mordell สำเร็จ ซึ่งกล่าวว่าสำหรับ n > 2 จะมีจำนวนเต็ม a, b และ c ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ an + bn = cn อยู่จำนวนจำกัด

     บทพิสูจน์

แอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ โดยใช้เครื่องมือในการพิสูจน์คือ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (ในเรื่องเส้นโค้งเชิงวงรี และ รูปแบบมอดุลาร์) , ทฤษฎีกาโลอิส และ พีชคณิต Hecke โดยได้รับความช่วยเหลือจาก ริชาร์ด เทย์เลอร์ (Richard Taylor) ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของเขาเอง บทพิสูจน์ของเขาได้ตีพิมพ์ลงในวารสาร Annals of Mathematics เมื่อ ค.ศ. 1995


ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์


ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์' (Fermat's little theorem) กล่าวว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ จะได้ว่า

หมายความว่า ถ้าเลือกจำนวนเต็ม a มาคูณกัน p ครั้ง จากนั้นลบด้วย a ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย p ลงตัว (ดูเลขคณิตมอดุลาร์) ทฤษฎีบทนี้กล่าวอีกแบบหนึ่งได้ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p แล้ว จะได้ว่า 
 a(p-1) สมภาคกับ 1 มอดุโล p เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะนั้น ควรแก้เป็น ap สมภาคกับ a มอดุโล p มากกว่า

บทพิสูจน์ แฟร์มาต์ได้ตั้งทฤษฎีบทนี้โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ ต่อมา กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้เขียนบทพิสูจน์ไว้ในหนังสือโดยไม่ได้ลงวันที่ รู้เพียงว่าเขาพิสูจน์ได้ก่อน ค.ศ. 1683

จำนวนเฉพาะเทียม ถ้าa และ p เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ หารด้วย p ลงตัว แล้ว p ไม่จำเป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป ถ้า p ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะเรียก p ว่าเป็นจำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprime)

ฐาน a. ใน ค.ศ. 1820 F. Sarrus พบว่า 341 = 11×31 เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน 2 ตัวแรก 
  
   จำนวนแฟร์มาต์

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนแฟร์มาต์ หมายถึงจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จำนวนแฟร์มาต์ได้ตั้งชื่อตามชื่อของ ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์คนแรกที่ศึกษาในเรื่องนี้ จำนวนแฟร์มาต์เก้าจำนวนแรกได้แก่ F0 = 21 + 1 = 3 F1 = 22 + 1 = 5 F2 = 24 + 1 = 17 F3 = 28 + 1 = 257 F4 = 216 + 1 = 65537 F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721 F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321 นอกจากนี้จำนวนแฟร์มาต์ยังสามารถเขียนอยู่ในรูปของความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ดังนี้

จำนวนแฟร์มาต์ที่เป็นจำนวนเฉพาะจะเรียกว่า จำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่อยู่ในรูป 2n + 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์เสมอ ปัจจุบัน จำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่มีการค้นพบแล้วได้แก่ F0, F1, F2, F3 และ F4







                                             น.ส. มณฑนา     วาสนาสุริยพงศ์     51121073-4
                                             น.ส.รสสุคนธ์    พลบุบผา           51121076-7
                                             น.ส.รัชนีกร       ชงโค           51121077-5