FANDOM


== พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์(Mathematical proof) ==


 ใน คณิตศาสตร์, หลักฐาน เป็นสาธิตเชื่อ (ในมาตรฐานที่ยอมรับของสนาม) ซึ่งบาง คำทางคณิตศาสตร์ ที่จำเป็นจริง พยานจะได้รับจาก เหตุผล deductive มากกว่าจากการขัดแย้ง 
นำเข้ามา หรือ ชัดเจน คือหลักฐานต้องแสดงให้เห็นว่าคำแถลงเป็นจริงในทุกกรณีโดยไม่มีข้อยกเว้นเดียว โจทย์ไม่ได้พิสูจน์ที่เชื่อว่าเป็นจริงจะเรียกว่า การคาดคะเน
คำที่มักจะเรียกว่าการพิสูจน์ ทฤษฎีบท เมื่อมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทก็สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการพิสูจน์งบเพิ่มเติม ทฤษฎีบทอาจหมายถึง บทแทรก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีขึ้นเพื่อใช้เป็น
หินก้าวในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่น
หลักฐานอันว่าจ้าง เหตุผล แต่มักจะรวมจำนวน ภาษาธรรมชาติ ซึ่งมักจะ admits ความเคลือบแคลงบางบาง ในความเป็นจริงส่วนใหญ่มากมายของพยานในคณิตศาสตร์เขียนได้ถือเป็น
โปรแกรมของ ตรรกะทางการ เคร่งครัด แต่หาก พยานทางการ เขียนภาษาสัญลักษณ์แทนภาษาธรรมชาติจะถือในการ พิสูจน์ทฤษฎี ความแตกต่างระหว่าง พยานเป็นทางการและทางการ
ได้นำไปสู่การสอบมากของ การปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ในปัจจุบันและประวัติศาสตร์, เสมือนประจักษนิยมในคณิตศาสตร์ และดังที่เรียก คณิตศาสตร์ชน (ในประสาทสัมผัสทั้งสองคำนั้น
ปรัชญาของคณิตศาสตร์ จะเกี่ยวข้องกับบทบาทของภาษาและตรรกะในพยานและ คณิตศาสตร์เป็นภาษา


== ประวัติและนิรุกติศาสตร์ ==


  ขัดแย้งความเป็นไปโดยใช้อุปกรณ์ heuristic เช่นภาพและ analogies นำหน้าพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด การพัฒนาของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นหลักผลิตภัณฑ์
อารยธรรมกรีกแรก Thales (624-546 BCE) พิสูจน์ theorems บางในเรขาคณิต Eudoxus (408-355 BCE) และ Theaetetus (417-369 BCE)สูตร theorems
แต่ไม่ได้พิสูจน์พวกเขา. อริสโตเติล (384-322 BCE) กล่าวว่าคำจำกัดความจะอธิบายแนวคิดที่มีการกำหนดไว้ในแง่ของแนวคิดอื่นๆที่รู้จักกันแล้ว. Euclid (300 BCE) เริ่มต้นด้วย
คำที่ไม่ได้กำหนด และ axioms (propositions เกี่ยวกับเงื่อนไขไม่ได้กำหนดถือว่าเป็นตัวจริงชัดเจนจาก axios "กรีก" หมายถึงสิ่งที่ "สมควร") และใช้เหล่านี้เพื่อพิสูจน์
theorems ใช้ ตรรกะ deductive พิสูจน์ทฤษฎี สมัยใหม่ถือว่าเป็นหลักฐานอัน inductively กำหนดโครงสร้างข้อมูล ไม่สมมติว่า axioms เป็น "true" ในแง่ใดๆ;
นี้ช่วยให้ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์คู่ขนานที่สร้างขึ้นจากชุดอื่นของ axioms (ดู ทฤษฎีกำหนดซึ่งเห็นได้ง่าย และ Non-Euclidean เรขาคณิต สำหรับตัวอย่าง)
คำสมัยใหม่ที่เกี่ยวข้องมีการสอบสวน "อังกฤษ", "งวง" การทดลอง "และน่าจะเป็น" "และ probar" สเปน "(ให้กลิ่นหรือรสหรือ (ใช้น้อย) ติดต่อหรือทดสอบ)
ต้นใช้ความซื่อสัตย์ "" ถูกในการนำเสนอหลักฐานทางกฎหมาย. คนของอำนาจเช่นขุนให้ได้ว่ามีความซื่อสัตย์, โดยหลักฐานได้โดยอำนาจญาติของเขาซึ่ง outweighed พยานชัดเจน


== ลักษณะและวัตถุประสงค์ ==


   มีสอง conceptions แตกต่างของหลักฐานทางคณิตศาสตร์. [6] แรกเป็นหลักฐานกันเองเข้มงวดธรรมชาติแสดงออกภาษาที่มีวัตถุประสงค์เพื่อชักจูงใจผู้ชมของจริงของ
ทฤษฎีบทนี้ เนื่องจากการใช้งานของภาษาธรรมชาติมาตรฐานของความยากลำบากสำหรับพยานทางการจะขึ้นอยู่กับกลุ่มของหลักฐาน เพื่อที่จะได้รับการพิจารณาหลักฐานแต่การโต้แย้งต้อง
เข้มงวดเพียงพอ; อาร์กิวเมนต์คลุมเครือหรือไม่สมบูรณ์ไม่หลักฐาน หลักฐานอันกันเองมีประเภทของหลักฐานมักจะพบในคณิตศาสตร์ที่เผยแพร่ พวกเขาบางครั้งเรียกว่า "พยานทางการ"
เนื่องจากความยากลำบากของพวกเขาแต่ logicians ใช้คำว่า "หลักฐานทางการ" เพื่อดูประเภทต่างๆของหลักฐานทั้งหมด
ในตรรกะเป็น หลักฐานอย่างเป็นทางการ ไม่ได้เขียนด้วยภาษาธรรมชาติแต่แทนที่จะใช้ ภาษาทางการ ประกอบด้วยสตริงบางสัญลักษณ์จากอักษรคง นี้ช่วยให้ความหมายของหลักฐาน
อย่างเป็นทางการที่จะระบุอย่างแม่นยำโดยไม่มีความเคลือบแคลงใด สาขาการศึกษา ทฤษฎีพิสูจน์ หลักฐานอันเป็นทางการและทรัพย์สินของพวกเขา แม้ว่าแต่ละคนสามารถพิสูจน์กันเอง
ในทฤษฎีถูกแปลงเป็นหลักฐานอย่างเป็นทางการนี้มักจะกระทำในการปฏิบัติ การศึกษาหลักฐานอันเป็นทางการจะใช้เพื่อตรวจสอบคุณสมบัติของ provability ทั่วไปและแสดงว่า งบ
undecidable บางอย่างไม่สามารถพิสูจน์ได้ คำถามคลาสสิกในปรัชญาถามว่าหลักฐานอันคณิตศาสตร์มี การวิเคราะห์ หรือ สังเคราะห์ Kant ผู้แนะนำ วิเคราะห์-เด่นสังเคราะห์ เชื่อหลักฐานอันคณิตศาสตร์จะสังเคราะห์
หลักฐานอันอาจจะดูเป็นวัตถุเกี่ยวกับสุนทรียศาสตร์, ชื่นชมใน ความงามทางคณิตศาสตร์ ของพวกเขา นักคณิตศาสตร์ พอลแอร์ดิช เป็นที่รู้จักสำหรับการอธิบายโดยเฉพาะเขา
ได้พบหลักฐานอันงดงามเป็นที่มาจาก "The Book", โตเมสมมุติมีวิธีที่สวยที่สุด (s) การพิสูจน์ทฤษฎีบทแต่ละ พยาน หนังสือ จากคัมภีร์ ประกาศในปี 2003 เป็น 32 แห่งเพื่อรองรับ
การนำเสนอหลักฐานอันบรรณาธิการมันหาที่ถูกใจโดยเฉพาะ


== วิธีการพิสูจน์ ==


  หลักฐาน Direct 
  บทความหลัก: หลักฐาน Direct 
  ใน หลักฐานโดยตรง สรุปจะจัดตั้งขึ้นโดยมีเหตุผลรวมaxiomsคำจำกัดความและก่อนหน้าtheoremsเช่นหลักฐานตรงสามารถใช้เพื่อกำหนดว่ายอดรวมของสองintegersแม้ 
เสมอแม้
สำหรับที่สองแม้ integers x และ y เราสามารถเขียน x = 2 และ y = 2 b สำหรับ integers บาง และ b เนื่องจากทั้ง x และ y มี multiples 2. 
But the sum x + y = 2 a + 2 b = 2( a + b ) is also a multiple of 2, so it is therefore even by definition. แต่ยอดรวม
x + y = 2 + 2 b = 2 (a + b) ยังหลาย 2 ดังนั้นจึงได้โดยความหมาย
หลักฐานการใช้ความหมายของ integers แม้เป็น กฎหมายการกระจาย
  หลักฐานโดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์
  บทความหลัก: อุปนัยคณิตศาสตร์ 
     ในการ พิสูจน์โดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์ [8], แรกกรณีฐาน "" จะพิสูจน์และอุปนัยกฎ "" จะใช้ในการพิสูจน์ (อนันต์ บ่อย) ชุดกรณีอื่นๆ ตั้งแต่กรณีฐานเป็นจริงไม่มีที่สิ้นสุดของ
คดีอื่นๆจะต้องเป็นจริงแม้ว่าทั้งหมดของพวกเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงเนื่องจากจำนวนมากมายของพวกเขา เซตย่อยของอุปนัยเป็น โคตรอนันต์ สิ้นสุดลงสามารถใช้ในการพิสูจน์
ความไม่ลงตัวของรากที่สองของสอง
  หลักการรัฐอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่: N ให้ = (1, 2, 3, 4, ... }  จะกำหนดตัวเลขธรรมชาติและ P (n) เป็นคำทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ n จำนวนธรรมชาติ
เป็นของ N เช่นว่า

(i)(P i) (1) เป็นจริงคือ P (n) เป็นจริงสำหรับ = 1 n (ii)P (n + 1) เป็นจริงเมื่อ P (n) เป็นจริงนั่นคือ P (n) เป็นจริงนัยที่ P (n + 1) เป็นจริง. แล้ว P (n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n

  Mathematicians มักจะใช้ระยะหลักฐาน "โดยอุปนัย" เป็นจดชวเลขเพื่อพิสูจน์โดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามระยะหลักฐาน "โดยอุปนัย" อาจใช้ในเหตุผล
เพื่อหมายถึงการพิสูจน์ที่ใช้ เหตุผลนำเข้ามา
  หลักฐานโดยเปลี่ยน 
  บทความหลัก: เปลี่ยน (ตรรกะ) 
  หลักฐานโดยเปลี่ยน establishes สรุป "ถ้า p แล้ว q" โดยพิสูจน์คำ contrapositive เทียบเท่า "ถ้า ไม่ถาม แล้ว ไม่ p"
  หลักฐานโดยแย้ง 
  บทความหลัก: หลักฐานโดยแย้ง 
   ในการ พิสูจน์ด้วยการเถียง (เรียกอีกอย่าง reductio absurdum โฆษณา ภาษาละติน "โดยลดลงไปบ้าบอคอแตก") ปรากฏว่าถ้างบบางส่วนได้ให้การแย้งตรรกะเกิดจากนี้
งบจะต้องไม่ให้ วิธีนี้อาจจะแพร่ระบาดมากที่สุดของพยานคณิตศาสตร์ เช่นชื่อเสียงของหลักฐานโดยแสดงแย้งที่ เป็น จำนวนอตรรกยะ
คิดว่า เป็นจำนวนจริงดังนั้น ที่ A และ B
จะไม่เป็นศูนย์ integers กับ ปัจจัยพื้นฐานไม่มี (นิยามของจำนวนจริง). Thus, ดังนั้น Squaring ทำให้ทั้งสอง 2 b 2 = 2 ตั้งแต่ 2 divides ด้านซ้ายมือ 2
ต้องแบ่งด้านขวา (ตามที่เท่าเทียมกันและทั้งสอง integers) ดังนั้น 2 แม้ซึ่งนัยที่ยังต้องได้ เพื่อให้เราสามารถ เขียน = 2 c ซึ่ง c เป็นจำนวนเต็ม. แทนที่เข้าจะทำให้สมการเดิม
2 b 2 = (2 c) 2 = 4 c 2 หารทั้งสองโดย 2 ทำให้ b 2 = 2 c 2 แต่แล้วโดยอ้างเหตุผลเดียวกับก่อน 2 divides b 2 ดังนั้น b ต้องแม้แต่ แต่ถ้า A และ B
มีทั้งสองแม้จะร่วมปัจจัยได้แก่ 2นี้ contradicts สมมติของเราดังนั้นเราจำเป็นต้องสรุปว่า เป็นจำนวนอตรรกยะ
  หลักฐานจากการก่อสร้าง 
   บทความหลัก: หลักฐานจากการก่อสร้าง 
  หลักฐานจากการก่อสร้าง หรือโดยหลักฐานเช่นมีการก่อสร้างของตัวอย่างคอนกรีตที่มีคุณสมบัติที่จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งที่มีทรัพย์สินอยู่. Joseph Liouville ตัวอย่างเช่นพิสูจน์
ความคงอยู่ของ ตัวเลขยอดเยี่ยม โดยสร้าง ตัวอย่างชัดเจน
  หลักฐานด้วยความอ่อนเพลีย 
  บทความหลัก: หลักฐานด้วยความอ่อนเพลีย 
  ในการ พิสูจน์ด้วยความเหนื่อย, สรุปจะจัดตั้งขึ้นโดยการหารลงในจำนวนจำกัดของคดีและพิสูจน์แต่ละแยก จำนวนกรณีบางครั้งจะเป็นมาก เช่นหลักฐานแรกของ ทฤษฎีบทสี่สี
เป็นหลักฐานด้วยความเหนื่อยกับ 1.936 กรณี หลักฐานนี้ได้เถียงเพราะส่วนใหญ่กรณีถูกตรวจสอบโดยโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช่ด้วยมือ สั้นรู้จักพิสูจน์ทฤษฎีบทสี่สีในวันนี้ยังคงมีกว่า
600 คดี
  หลักฐานน่าจะเป็น 
  บทความหลัก: วิธีน่าจะเป็น 
    หลักฐานน่าจะเป็น หนึ่งในตัวอย่างที่จะปรากฏอยู่กับความเชื่อมั่นโดยใช้วิธีการของ ทฤษฎีความน่าจะเป็น นี้ไม่ให้สับสนกับการโต้แย้งว่าทฤษฎีบทคือ 'จริงอาจ'ประเภทหลังของเหตุผล
สามารถเรียกว่าการพิสูจน์ความเป็นไป 'และไม่หลักฐานหนึ่งในกรณีของ การคาดคะเน Collatz เป็นที่ชัดเจนว่าที่อยู่ห่างไกลจากหลักฐานแท้ หลักฐานน่าจะเป็นเช่นพิสูจน์โดยการก่อสร้าง
เป็นหนึ่งในหลายวิธีที่จะแสดง theorems ชาติ
    หลักฐาน Combinatorial 
  บทความหลัก: หลักฐาน Combinatorial 
  สมดุลของการแสดงออกที่ต่างกันโดยแสดงว่าพวกเขานับวัตถุเดียวกันในลักษณะต่างๆมัก bijection ระหว่างสองชุดจะใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าการแสดงออกของพวกเขาทั้งสอง
ขนาดเท่ากัน หรือ โต้แย้งนับสอง มีสองแสดงออกแตกต่างกันสำหรับขนาดของชุดหนึ่งที่แสดงอีกครั้งที่ทั้งสองแสดงออกเท่ากัน
  หลักฐาน Nonconstructive 
  บทความหลัก: หลักฐาน Nonconstructive 
  หลักฐาน nonconstructive establishes ที่ วัตถุทางคณิตศาสตร์ บางอย่างต้องมี (เช่น "X บาง satisfies f (X)") โดยไม่อธิบายวิธีเช่นวัตถุสามารถพบ 
บ่อยครั้งนี้จะใช้เวลารูปแบบของหลักฐานโดยแย้งที่ nonexistence ของวัตถุจะพิสูจน์ให้เป็นไปไม่ได้ ในทางตรงกันข้ามหลักฐานการทำ establishes ว่ามีวัตถุใดอยู่โดยให้วิธี
การหามัน เช่นชื่อเสียงของ nonconstructive หลักฐานแสดงให้เห็นว่ามีอยู่สอง หมายเลขไม่ลงตัว และ b เช่นที่ b จำนวนจริง คือ Either เช่นกัน(take เป็นจำนวนจริง
และเรากำลังทำ (ใช้ ), or ) หรือ คือไม่มีเหตุผลเพื่อให้เราสามารถเขียน and และ . . นี้แล้วให้ , ซึ่งจะทำให้เหตุผลของรูป
  หลักฐาน Visual
  หลักฐาน Visual สำหรับสามเหลี่ยม (3, 4, 5) ใน Chou Pei สวนชิง พ.ศ. 500-200 แต่ไม่หลักฐานทางการแสดงภาพของทฤษฎีบทคณิตศาสตร์มีบางครั้งเรียกว่า หลัก
ฐาน "ไม่มีคำ" ภาพด้านขวาเป็นตัวอย่างของหลักฐานภาพประวัติศาสตร์ของ ทฤษฎีบท Pythagorean ในกรณีที่ (3,4,5) สามเหลี่ยม
800px-Chinese pythagoras
  หลักฐานเบื้องต้น 
     บทความหลัก: หลักฐานเบื้องต้น 
    หลักฐานเบื้องต้นเป็นหลักฐานที่เพียงใช้เทคนิคพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำที่ใช้ใน ทฤษฎีจำนวน ที่ดูหลักฐานอันที่ใช้การ วิเคราะห์ที่ซับซ้อน
ไม่ ครั้งก็คิดว่าบาง theorems เช่น ทฤษฎีบทจำนวนที่สำคัญ อาจจะถูกพิสูจน์โดยใช้ "สูง"
คณิตศาสตร์บาง แต่เมื่อเวลาผ่านไปหลายผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการ reproved ใช้เทคนิคเบื้องต้นเท่านั้น
  หลักฐานคอลัมน์สอง 
     สองหลักฐานที่เผยแพร่ในคอลัมน์ 1,913รูปแบบโดยเฉพาะการพิสูจน์โดยใช้สองคอลัมน์ขนานมีการใช้บ่อยในชั้นเรียนเรขาคณิตประถม
หลักฐานจะเขียนเป็นชุดของเส้นในสองคอลัมน์. ในแต่ละบรรทัดคอลัมน์มือซ้ายมี propositions
(หรือบางครั้งเรียกว่างบ) ในขณะที่คอลัมน์ขวามือมีคำอธิบายสั้นๆว่าเรื่องนี้มีทั้งความจริง, สมมติฐานหรือสามารถรับจาก
บรรทัดก่อน (หรือบางครั้งเรียกว่าเพียงแค่เหตุผล "")
Twocolumnproof
  หลักฐานอันสถิติคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 
  บทความหลัก: หลักฐานสถิติ 
    แสดงออก "พิสูจน์สถิติ" อาจใช้เทคนิคหรือ colloquially ในพื้นที่ของ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เช่นเกี่ยวกับ การอ่านรหัส, series 
วุ่นวาย และน่าจะเป็นหรือ ทฤษฎีจำนวน วิเคราะห์ เป็นน้อยใช้ทั่วไปที่อ้างถึงหลักฐานทางคณิตศาสตร์ในสาขาของ
คณิตศาสตร์ที่เรียกว่า สถิติคณิตศาสตร์ ดูยัง "พิสูจน์สถิติการใช้ข้อมูลส่วน" ด้านล่าง
  คอมพิวเตอร์ช่วยพยาน 
  บทความหลัก: คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ 
    จนถึงศตวรรษที่ยี่สิบก็สันนิษฐานว่าหลักฐานใดๆได้ในหลักการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์มีอำนาจในการยืนยันความถูกต้องของ 
อย่างไรก็ตามคอมพิวเตอร์ที่ใช้ตอนนี้ทั้งสองพิสูจน์ theorems และดำเนินการคำนวณที่ยาวเกินไปสำหรับใดๆมนุษย์
หรือทีมบุคลากรเพื่อตรวจสอบ; หลักฐานแรกของ ทฤษฎีบทสี่สี เป็นตัวอย่างของคอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์บางคนกังวลว่าเป็นไปได้ของข้อผิดพลาด
ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์หรือใช้เป็นข้อผิดพลาดเวลาในการคำนวณสายความถูกต้องของคอมพิวเตอร์ดังกล่าวช่วยพยานในคำถาม
ในทางปฏิบัติโอกาสที่ผิดพลาด invalidating คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ได้ลดลง incorporating เหลือเฟือและตนเองในการตรวจสอบการ
คำนวณและการพัฒนาวิธีอิสระหลายและโปรแกรม


== งบ Undecidable ==


  ข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และพิสูจน์หักล้างจากชุดของ axioms เรียกว่า ตัวอย่างหนึ่งคือ สมมุติขนาน ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ไม่โต้แย้งได้จาก axioms 
ที่เหลือของเรขาคณิตMathematicians ได้แสดงมีงบจำนวนมากที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และพิสูจน์หักล้างใน Zermelo-Fraenkel ตั้งทฤษฎี กับความจริงของตัวเลือก
(ZFC) ระบบมาตรฐานการตั้งทฤษฎีคณิตศาสตร์ (ยโสที่ ZFC สอดคล้อง) ดู รายการในงบ undecidable ZFC.Gödel ของ (แรก) ทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์ แสดงให้เห็นว่า
ระบบความจริงมากมายที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์จะมีงบ undecidable.


== คณิตศาสตร์ Heuristic และทดสอบคณิตศาสตร์ ==


   ขณะ mathematicians ต้นเช่น Eudoxus ของ Cnidus ไม่ได้ใช้หลักฐานอันจาก Euclid ในการพัฒนา คณิตศาสตร์ foundational ของศตวรรษที่ 
19 และ 20 สาย, พยานได้เป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์. ด้วยการเพิ่มอำนาจการใช้คอมพิวเตอร์ใน 1,960 ของสำคัญงานเริ่มดำเนินการตรวจสอบ วัตถุคณิตศาสตร์
นอกหลักฐานแบบกรอบทฤษฎีบท, [16] ใน คณิตศาสตร์ทดลอง บุกเบิกต้นของวิธีการเหล่านี้ตั้งใจทำงานที่สุดที่จะฝังในหลักฐานคลาสสิกเป็นกรอบความเชื่อเช่นการ
พัฒนาต้นของ เรขาคณิต fractal ซึ่งในที่สุดเพื่อฝัง.


== แนวคิดที่เกี่ยวข้อง ==


  ใช้เกี่ยวกับภาษาพูดของ "พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์" 

แสดงออก "พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์" ใช้งานโดยวางคนให้ดูที่การใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์หรือการโต้เถียงกับ วัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่นตัวเลขแสดงอะไรเกี่ยวกับชีวิตประจำวันหรือ
เมื่อข้อมูลที่ใช้ในการพิสูจน์เป็นตัวเลข เป็นบางครั้งยังใช้เพื่อหมายถึง "พิสูจน์สถิติ" (ด้านล่าง)
โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้การโต้แย้งจาก ข้อมูล

  หลักฐานสถิติการใช้ข้อมูล 
     บทความหลัก: หลักฐานสถิติ 
  "พิสูจน์สถิติ" จากข้อมูลหมายถึงการประยุกต์ สถิติ, วิเคราะห์ข้อมูล หรือ การวิเคราะห์ Bayesian เพื่อสรุป propositions เกี่ยวกับ ความน่าจะเป็น 
ของ ข้อมูล ขณะที่ ใช้ หลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่สร้าง theorems ในสถิติก็จะไม่พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ในที่ assumpions จากงบน่าจะเป็นที่มาต้องแสดงหลักฐานชัดเจนจาก
คณิตศาสตร์นอกยืนยันใน ฟิสิกส์ ในนอกจากวิธีการทางสถิติ "พิสูจน์สถิติ" สามารถดูที่ วิธีการทางคณิตศาสตร์ เฉพาะ ของฟิสิกส์ นำมาใช้เพื่อวิเคราะห์ข้อมูลใน การทดลอง
ฟิสิกส์อนุภาค หรือ observational ศึกษา ใน จักรวาลวิทยา "พิสูจน์สถิติ" อาจอ้างถึงข้อมูลดิบหรือแผนภาพเชื่อเกี่ยวกับข้อมูลเช่น
แปลงกระจาย เมื่อข้อมูลหรือแผนภาพที่เพียงพอน่าเชื่อโดยไม่ anaylisis เพิ่มเติม
  หลักฐานอันตรรกะนำเข้ามาและการวิเคราะห์ Bayesian 
  บทความหลัก: ตรรกะนำเข้ามา และ การวิเคราะห์ Bayesian 
  หลักฐานอัน ตรรกะนำเข้ามา ใช้ในขณะที่พิจารณาทางคณิตศาสตร์ในธรรมชาติต้องการสร้าง propositions กับ ระดับของความเชื่อมั่น ซึ่งการกระทำในลักษณะที่
คล้ายกับ ความน่าจะเป็น และอาจจะน้อยกว่าหนึ่ง แน่นอน วิเคราะห์ Bayesian establishes assertions ตามที่ระดับ ความเชื่อส่วนตัว ของบุคคลตรร
กะนำเข้ามาไม่ควรสับสนกับ อุปนัยคณิตศาสตร์
  หลักฐานอันเป็นวัตถุจิต 
    บทความหลัก: Psychologism และ ภาษาความคิด 
     คณิตศาสตร์เป็นพยานวัตถุจิตวิทยาหรือจิตนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์เช่น Leibnitz, Frege และ Carnap ได้พยายามพัฒนาอรรถศาสตร์สำหรับสิ่งที่พวกเขา
ถือเป็น ภาษาของความคิด, โดยมาตรฐานการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อาจจะนำไปใช้ใน ทางวิทยาศาสตร์ชัดเจน
  อิทธิพลของวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นอกคณิตศาสตร์ 

ปราชญ์-mathematicians เช่น Schopenhauer ได้พยายามที่จะกำหนดปรัชญาการขัดแย้งในลักษณะซึ่งเป็นจริงให้โดยมาตรฐานการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถ
นำไปใช้ในการโต้แย้งในปรัชญาทั่วไปนักคณิตศาสตร์อื่นๆนักปรัชญาได้พยายามใช้มาตรฐานการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และเหตุผลโดยไม่ประจักษนิยมไปถึงงบนอก
คณิตศาสตร์แต่มี ความเชื่อมั่น ของ propositions deduced ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เช่น Descarte 's อาร์กิวเมนต์ cogito. Kant และ Frege
พิจารณาพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เพื่อ วิเคราะห์ aprior


== สิ้นสุดหลักฐาน ==


บางครั้งย่อว่า "QED" เขียนเพื่อแสดงสิ้นหลักฐานอักษรย่อซึ่งย่อมาจาก "Quod Erat Demonstrandum" ซึ่งเป็น ภาษาละติน สำหรับ "สิ่งที่ถูกที่จะแสดง".
อื่นทั่วไปคือการใช้ตารางหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าเช่น □ ∎ หรือที่รู้จักกันเป็น tombstone "" หรือ halmos มักจะ "ซึ่งจะแสดง" คือกล่าววาจาเมื่อเขียน "QED", "□"
หรือ "∎" ในการนำเสนอปากเปล่าบอร์ด


== ดูยัง ==


-ทฤษฎีบท Automated พิสูจน์ 
 -Invalid proof หลักฐานไม่ถูกต้อง 
 -Nonconstructive proof หลักฐาน Nonconstructive 
-List of mathematical proofs รายการหลักฐานอันคณิตศาสตร์ 
 -Proof by intimidation พิสูจน์โดยการข่มขู่ 


== อ้างอิง ==


^ a b Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.
^ Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0470457937
^ a b The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007
^ New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.
^ The Emergence of Probability, Ian Hacking
^ Buss, 1997, p. 3
^ Cupillari, page 20.
^ Cupillari, page 46.
^ Proof by induction, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology
^ While most mathematicians do not think that probabilistic evidence ever counts as a genuine mathematical proof,
a few mathematicians and philosophers have argued that at least some types of probabilistic evidence (such as Rabin’s
probabilistic algorithm for testing primality) are as good as genuine mathematical proofs.
See, for example, Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?"
American Mathematical Monthly 79:252-63. Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof."
Journal of Philosophy 94:165-86.
^ Patricio G. Herbst, Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column
Proof in the Early Twentieth Century, Educational Studies in Mathematics, Vol. 49, No. 3 (2002), pp. 283-312,
^ “in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma.” [1]
^ “Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except
for some statistical proof”” (Derogatory use.)
^ “these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability
of failure for large E” [3]
^ "What to do with the pictures? Two thoughts surfaced: the first was that they were unpublishable in the
standard way, there were no theorems only very suggestive pictures. They furnished convincing evidence for
many conjectures and lures to further exploration, but theorems were coins of the realm ant the conventions of that day
dictated that journals only published theorems", David Mumford, Caroline Series and David Wright, Indra’s Pearls, 2002
^ "Mandelbrot, working at the IBM Research Laboratory, did some computer simulations for these sets on
the reasonable assumption that, if you wanted to prove something, it might be helpful to know the answer ahead of
time."A Note on the History of Fractals,
^ "… brought home again to Benoit [Mandelbrot] that there was a ‘mathematics of the eye’, that visualization
of a problem was as valid a method as any for finding a solution. Amazingly, he found himself alone with this
conjecture. The teaching of mathematics in France was dominated by a handful of dogmatic mathematicians
hiding behind the pseudonym ‘Bourabki’… ", Introducing Fractal Geometry, Nigel Lesmoir-Gordon


== แหล่งที่มา ==


Polya, G. คณิตศาสตร์และเหตุผลเป็นไปได้. Princeton University Press, 1954. Princeton University Press, 1,954.
Fallis, Don (2002) “What Do Mathematicians Want? Fallis, (2002) "อะไร Mathematicians ต้องการดอน? Probabilistic
Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians.” Logique et Analyse 45:373-88. น่าจะเป็นพยานและเป้าหมาย Epistemic
ของ Mathematicians. Logique et วิเคราะห์ 45:373-88.
Franklin, J. and Daoud, A. Proof in Mathematics: An Introduction . Franklin, J. และ Daoud, A. หลักฐานในคณิตศาสตร์:
Introduction. Quakers Hill Press, 1996. ISBN 1-876192-00-3 Quakers Hill Press, 1996. ISBN 1-876192-00-3
Solow, D. How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes . Solow, D.
วิธีการอ่านและทำหลักฐานอัน: แนะนำกระบวนการคิดคณิตศาสตร์. Wiley, 2004. ISBN 0-471-68058-3 Wiley, 2004. ISBN 0-471-68058-3
Velleman, D. How to Prove It: A Structured Approach . Velleman, D. การพิสูจน์มันโครงสร้างวิธี. C
ambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-67599-5 Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-67599-5


== คณะผู้จัดทำ ==


1.นาย ปณต สีจันทร์อ่อน 51121047-8 IT
2.นาย ภคิน กอบสินก้องเดช 51121065-0 IT
3.นาย พรรษพล รักดี 51121120-3 IT
4.นาย ศิริพงษ์ ตั้งยั่งยืน 51121088-2 IT