FANDOM


ตัวบ่งปริมาณ (Quantifiers) Edit

    ประพจน์บ่งปริมาณ  คือ  ประโยคเปิดที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพันธ์ และมีตัวบ่งปริมาณกำกับอยู่ด้วย โดยที่ตัวบ่งบอกปริมาณจะใช้เขียนนำหน้าประโยคเปิด

ตัวบ่งปริมาณ สามารถแบ่งได้เป็น 2 ชนิดดังนี้
1. ตัวบ่งปริมาณทั้งหมด (Universal quantifier) คือ การกำหนดให้สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ "สำหรับ.....ทุกตัว" (For all...) ใช้สัญลักษณ์ "" ถ้า P(x) เป็นข้อความฟังก์ชั่น และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับทุก x, P(x) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ หรือ หรือ

2. ตัวบ่งปริมาณ "มีอย่างน้อยหนึ่ง" (Existential quantifier) คือ การกำหนดให้สมาชิกบางตัว (หรืออย่างน้อยหนึ่งตัว) มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ "สำหรับ....บางตัว" (For some...) ใช้สัญลักษณ์ “ ” ถ้า P(x) เป็นประโยคเปิด และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับบาง x, P(x) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ หรือ หรือ

ประพจน์บ่งปริมาณที่มีสองตัว Edit

  เมื่อให้  P(x,y)  เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร  x  และ  y

1) หรือ หมายความว่า สำหรับทุก x สำหรับทุก y มี เงื่อนไข P(x,y)
2) หรือ หมายความว่า สำหรับทุก x มีบาง y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
3) หรือ หมายความว่า มีบาง x ที่สำหรับทุก y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
4) หรือ หมายความว่า มีบาง x มีบาง y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)

หมายเหตุ   ถ้า  A  และ  B  เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ  x  และ  y  ตามลำดับ  เราอาจจะเขียน


                 เป็น    
เป็น


ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว Edit

   โดยจะนำตัวบ่งปริมาณ x หรือ x วางหน้าประโยคเปิด แล้วนำค่าในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนในประโยคเปิด จึงหาค่าความจริงได้

1. x [P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่า x ใน P(x) แล้วเป็นจริงทั้งหมด

     x [P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า x ใน P(x) แล้วเป็นเท็จ

2. x [P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า x ใน P(x) แล้วเป็นจริง
x [P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่า x ใน P(x) แล้วเป็นเท็จทั้งหมด
หมายเหตุ
1. สำหรับประโยคเปิด P(x) ใด ๆ ที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ ไม่เป็นเซตว่าง จะได้ว่า เป็นจริงเสมอ
2. ในกรณีที่ประพจน์บ่งปริมาณ มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แฝงอยู่

       2.1) โดยทั่วไป จะใช้ตัวเชื่อม”ถ้า........แล้ว “ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณทั้งหมด  "   "
   2.2) จะใช้ตัวเชื่อม”และ “ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณมีอย่างน้องหนึ่ง  " ( ) "


ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณที่มี 2 ตัวแปร Edit

1.x y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า x และ y ใน P(x,y) แล้วเป็นจริงทั้งหมด
2.x y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า x และ y ใน P(x,y) แล้วเป็นจริง
3.x y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า x และ มีอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า y ใน P(x,y) แล้วเป็นจริง
4.x y[P(x,y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า x และ ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่า y ในP(x,y) แล้วเป็นจริง


นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ Edit

-นิเสธของ   เขียนแทนด้วย ~  โดยที่  
 -นิเสธของ   เขียนแทนด้วย ~  โดยที่  

เราสามารถใช้หลักการเดียวกันนี้กับประพจน์ที่มีตัวบ่งบอกปริมาณ 2 ตัวได้คือ

                 ~ xyP(x,y)xy~ P(x,y)
        ~ xyP(x,y)xy~ P(x,y)
        ~ xyP(x,y)xy~ P(x,y)
        ~ xyP(x,y)xy~ P(x,y)

ตัวอย่าง การหาค่าความจริงของประพจน์ Edit

1) จงหาค่าความจริงของ x y [(x+y) =( y+x)] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } วิธีทำ เมื่อแทน x ด้วย 0 เราจะได้ y [(0+y) = (y+0)] หรือ y [y = y] จริงทุก y = 0, 1, 2

    เมื่อแทน x ด้วย 1 เราจะได้ y [(1+y) = (y+1)] หรือ y [y = y] จริงทุก y = 0, 1, 2
    เมื่อแทน x ด้วย 2 เราจะได้ y [(2+y) =( y+2)] หรือ y [y = y] จริงทุก y = 0, 1, 2

ดังนั้น x y [(x+y) =( y+x)] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } มีค่าความจริงเป็นจริง

2) จงหาค่าความจริงของประพจน์ x y[y<x] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } วิธีทำ

         เนื่องจากเมื่อแทน y ด้วย 1 และแทน x ด้วย 2 ทำให้ 1< 2 หรือ y < x จริง

ดังนั้น x y[y<x] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }มีค่าความจริงเป็นจริง

3) จงหาค่าความจริงของประพจน์ x y[x+y = 0] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } วิธีทำ

         ถ้า x = -1 จะได้ y[-1 + y = 0] เป็นจริงเมื่อ y = 1
    ถ้า x = 0 จะได้ y[0 + y = 0] เป็นจริงเมื่อ y = 0
    ถ้า x = 1 จะได้ y[1 + y = 0] เป็นจริงเมื่อ y = -1

ดังนั้น x y[x+y = 0] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }มีค่าความจริงเป็นจริง

แหล่งข้อมูลภายนอก Edit