สัมประสิทธิ์ทวินาม

สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coeficient)

โดยสามารถแบ่งได้เป็น3เรื่องหลักๆคือ
• Permutation
• Pascal’s Relation
• Binomials Coeficient
โดยในที่นี้จะขอพิสูตรเรื่อง Pascal’s Relationก่อน

ถ้า n , r เป็นจำนวนเต็มบวก และ n>k สัญลักษณ์ ${n \choose k}$อ่านว่า สัมประสิทธิ์ทวินามเอ็น

     นิยาม เมื่อ n , k  เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง 

${n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{ถ้า}}\ 0\leq k\leq n\qquad$

และ

${n \choose k} = 0 \quad \mbox{if } k < 0 \mbox{ or } k>n,$

เมื่อ n! หมายถึง thefactorial ของ n.

ซึ่งสามารถเขียนคำนิยามอีกเเบบหนึ่งว่า

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

เมื่อ

${n \choose 0} = {n \choose n} = 1.$

อาจจะสรุปได้ว่า

${n \choose k}$ = ${ n\choose n-k }$

ซึ่งสามารถเขียนเป็นสามเหลี่ยมปาสคาลตามข้างบนได้

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)

     เป็นการจัดเรียงสิ่งของโดยมีลำดับหรือมีขั้นตอน เช่น การเรียงอักษรคราวละ 3 ตัว จากอักษร 4 ตัว A B C D 

ในกรณีนี้เมื่อทดลองเรียงจริงจะได้ทั้งหมด 24 วิธีดังนี้
ABC ABD ACB ACD ADB ADC
BAC BAD BCA BCD BDA BDC
CAB CAD CBA CBD CDA CDB
DAB DAC DBA DBC DCA DCB

สรุป
การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)

จำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของคราวละ r สิ่ง จากสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน เขียนแทนด้วย P(n,r) หรือ nPr จะได้ว่า

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$