Fandom

TNI Wiki

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

16pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์วิธีหนึ่ง


คำอธิบายEdit

  อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สำหรับประโยคที่มีตัวแปรเป็นจำนวนนับ 

โดยการพิสูจน์อาศัยหลักที่ว่า ประโยคเริ่มต้นเป็นจริง (คือ P(1) เป็นจริง)

และถ้าเราสามารถแสดงว่า การพิสูจน์ค่าความจริงของประโยค P(n+1) เกิดจากค่าความจริงของประโยค P(n)
เราจะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่าของ n

Dominoeffect.png

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์Edit

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n 
ถ้า     1)   P(1) เป็นจริง 
 และ   2)   สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1)  เป็นจริงด้วย 
จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n


เราลองเปรียบเทียบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ กับการล้มของโดมิโน

ถ้าเราเอาโดมิโนมาตั้งเรียงเป็นแถวยาว แล้วเรารู้ว่า

1. โดมิโนตัวแรกล้ม

2. ไม่ว่า k จะเป็นอะไรก็ตาม ถ้าโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้วโดมิโนตัวที่ k+1 ล้มด้วย เราก็จะรู้ว่า ตัวที่ 1 ล้มทำให้ตัวที่ 2 ล้ม ตัวที่ 2 ล้มทำให้ตัวที่ 3 ล้ม ตัวที่ 3 ล้มทำให้ตัวที่ 4 ล้ม ไปเรื่อยๆจนหมดแถว เราก็จะสรุปได้ว่าโดมิโนล้มทุกตัว

ทีนี้ลองมาดูการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บ้าง เราจะพิสูจน์ว่า P(n) (ประพจน์ในตัวแปร n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

1. เราก็ต้องบอกว่าตัวแรกจริงก่อน ก็คือบอกว่า P(1) เป็นจริง [เหมือนเอา 1 ไปแทนที่ n] 2. สำหรับทุกๆ k ถ้าตัวที่ k จริงแล้วตัวที่ k+1 จริงด้วย ก็คือบอกว่า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จริงด้วย

ถ้าเราได้สองข้อนี้ก็จะสรุปได้ว่า P(n) จริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

ตัวอย่างEdit

Ex1 จงพิสูจน์ว่า 1+3+5+7+…+(2n –1) = n2 สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ 1+3+5+7+…+(2n – 1) = n2 ……… (1)

         1. จะพิสูจน์ P(1) เป็นจริง
                   เมื่อ n = 1 จะได้ว่า
                   ทางซ้ายมือของสมการ (1) คือ 1
         ทางขวามือของสมการ (1) คือ 12 = 1
         ดังนั้น P(1) เป็นจริง
                   2. จะพิสูจน์ว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย
                   สมมติว่า p(k) เป็นจริง
                   นั่นคือ 1+3+5+…+(2k –1) = k2 ……… (2)
         จะพิสูจน์ว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า
                   1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 ……… (3)
         พิจารณาทางซ้ายมือของสมการ (3) จะได้ว่า
                   1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = 1+3+5+…+(2k – 1) + [2(k + 1) – 1]
          = k2 + [2(k + 1) – 1]
          = k2 + 2k + 1
          = (k + 1)2
  ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง
     เพราะฉะนั้น   โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n


Ex2 จงพิสูจน์ว่า n3 – n หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n
วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ n3 - n หารด้วย 3 ลงตัว

1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง
เมื่อ n = 1 จะได้ 13 – 1 = 0 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2. จะแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว p(k+1) เป็นจริงด้วย
สมมติว่า ถ้า P(k) เป็นจริง นั่นคือ k3 - k หารด้วย 3 ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า P(k + 1) เป็นจริง กล่าวคือ
จะพิสูจน์ว่า (k + 1)3 – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว
เนื่องจาก k3 - k หารด้วย 3 ลงตัว
ดังนั้น ให้ k3 – k = 3a เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
เพราะว่า (k + 1)3 – (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k +1) – (k + 1)
= k3 + 3k2 + 2k
= k3 –k + 3k2 + 3k
= (k3 – k) + 3(k2 + k)
= 3a + 3(k2 + k)
= 3(a + k2 + k)

เนื่องจาก a + k2 + k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า (k + 1)3 – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว

  ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง
เพราะฉะนั้น โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

คำที่เกี่ยวข้องEdit

เอกสารอ้างอิงEdit

แหล่งข้อมูลภายนอกEdit

Also on Fandom

Random Wiki