Wikia

TNI Wiki

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

Talk0
16pages on
this wiki

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์วิธีหนึ่ง


คำอธิบายEdit

  อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สำหรับประโยคที่มีตัวแปรเป็นจำนวนนับ 

โดยการพิสูจน์อาศัยหลักที่ว่า ประโยคเริ่มต้นเป็นจริง (คือ P(1) เป็นจริง)

และถ้าเราสามารถแสดงว่า การพิสูจน์ค่าความจริงของประโยค P(n+1) เกิดจากค่าความจริงของประโยค P(n)
เราจะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่าของ n

Dominoeffect.png

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์Edit

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n 
ถ้า     1)   P(1) เป็นจริง 
 และ   2)   สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1)  เป็นจริงด้วย 
จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n


เราลองเปรียบเทียบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ กับการล้มของโดมิโน

ถ้าเราเอาโดมิโนมาตั้งเรียงเป็นแถวยาว แล้วเรารู้ว่า

1. โดมิโนตัวแรกล้ม

2. ไม่ว่า k จะเป็นอะไรก็ตาม ถ้าโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้วโดมิโนตัวที่ k+1 ล้มด้วย เราก็จะรู้ว่า ตัวที่ 1 ล้มทำให้ตัวที่ 2 ล้ม ตัวที่ 2 ล้มทำให้ตัวที่ 3 ล้ม ตัวที่ 3 ล้มทำให้ตัวที่ 4 ล้ม ไปเรื่อยๆจนหมดแถว เราก็จะสรุปได้ว่าโดมิโนล้มทุกตัว

ทีนี้ลองมาดูการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บ้าง เราจะพิสูจน์ว่า P(n) (ประพจน์ในตัวแปร n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

1. เราก็ต้องบอกว่าตัวแรกจริงก่อน ก็คือบอกว่า P(1) เป็นจริง [เหมือนเอา 1 ไปแทนที่ n] 2. สำหรับทุกๆ k ถ้าตัวที่ k จริงแล้วตัวที่ k+1 จริงด้วย ก็คือบอกว่า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จริงด้วย

ถ้าเราได้สองข้อนี้ก็จะสรุปได้ว่า P(n) จริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

ตัวอย่างEdit

Ex1 จงพิสูจน์ว่า 1+3+5+7+…+(2n –1) = n2 สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ 1+3+5+7+…+(2n – 1) = n2 ……… (1)

         1. จะพิสูจน์ P(1) เป็นจริง
                   เมื่อ n = 1 จะได้ว่า
                   ทางซ้ายมือของสมการ (1) คือ 1
         ทางขวามือของสมการ (1) คือ 12 = 1
         ดังนั้น P(1) เป็นจริง
                   2. จะพิสูจน์ว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย
                   สมมติว่า p(k) เป็นจริง
                   นั่นคือ 1+3+5+…+(2k –1) = k2 ……… (2)
         จะพิสูจน์ว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย กล่าวคือ จะพิสูจน์ว่า
                   1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 ……… (3)
         พิจารณาทางซ้ายมือของสมการ (3) จะได้ว่า
                   1+3+5+…+[2(k + 1) – 1] = 1+3+5+…+(2k – 1) + [2(k + 1) – 1]
          = k2 + [2(k + 1) – 1]
          = k2 + 2k + 1
          = (k + 1)2
  ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง
     เพราะฉะนั้น   โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n


Ex2 จงพิสูจน์ว่า n3 – n หารด้วย 3 ลงตัว สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n
วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ n3 - n หารด้วย 3 ลงตัว

1. จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง
เมื่อ n = 1 จะได้ 13 – 1 = 0 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น P(1) เป็นจริง

2. จะแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว p(k) เป็นจริงด้วย
สมมติว่า ถ้า P(k) เป็นจริง นั่นคือ k3 - k หารด้วย 3 ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า P(k + 1) เป็นจริง กล่าวคือ
จะพิสูจน์ว่า (k + 1)3 – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว
เนื่องจาก k3 - k หารด้วย 3 ลงตัว
ดังนั้น ให้ k3 – k = 3a เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
เพราะว่า (k + 1)3 – (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k +1) – (k + 1)
= k3 + 3k2 + 2k
= k3 –k + 3k2 + 3k
= (k3 – k) + 3(k2 + k)
= 3a + 3(k2 + k)
= 3(a + k2 + k)

เนื่องจาก a + k2 + k เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า (k + 1)3 – (k + 1) หารด้วย 3 ลงตัว

  ดังนั้น P(k + 1) เป็นจริง
เพราะฉะนั้น โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

คำที่เกี่ยวข้องEdit

เอกสารอ้างอิงEdit

แหล่งข้อมูลภายนอกEdit

Around Wikia's network

Random Wiki